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数学常数e的含义(转载)  

2011-07-13 08:52:24|  分类: 生活百科 |  标签: |举报 |字号 订阅

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原文转载自果壳网 guokr.com - 果壳网

e是一个重要的常数,但是它的直观含义却不像π那么明了。我们都知道,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数被称为圆周率,记作π=3.14159…,可是如果我问你,e代表了什么,你能回答吗?

不妨先来看看 维基百科 是怎么说的:

“e是自然对数的底数。”

但是,你去看“ 自然对数 ”这个条目,得到的解释却是:

“自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。”

这构成了循环定义,完全没有说e是什么。在这种情况下,数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是一件很奇怪的事情吗?

e是增长极限

到底什么是e?简单说来,e就是 增长的极限

下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下,那么很显然,这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

growth= 2 x x表示天数

这个式子可以改写成如下的样子:

growth= (1+100%) x 其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内(24小时)的增长率。


根据细胞生物学,每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,平均会新产生一半原数量的新细胞,新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:

数学常数e的含义(转载) - 800bu - {800Bu}

即在一个单位时间内,这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞,新生细胞立即具备独立分裂的能力,那就可以将1天分成3个阶段,在一天内时间细胞的总数会增至为:

数学常数e的含义(转载) - 800bu - {800Bu}

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上,这种分裂现象是不间断、连续的,每分每秒产生的新细胞,都会立即和母体一样继续分裂,一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢?答案是:

数学常数e的含义(转载) - 800bu - {800Bu}

当增长率为100%保持不变时,在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值

这个值是自然增长的极限,是“自然律”的精髓所在,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

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你不会自成“大款”——到e为止

e是一个神奇的数,它不仅在物体的冷却、细胞繁殖这些问题上体现出自然规律,对日常生活的影响也随处可见。比如,你考虑过如何在银行存款才能有最大收益吗?

有了e之后,这个问题就非常容易了。

设某家银行的存储利率是100%,如果你存入100元,半年后把利息归入本金,此时本金变为150元,再过半年即整一年后可得本利共225元。

如果每0.1年把利息归入本金,一年后可获本利259.37元。

如果每o.o1年把利息归入本金,一年后可获本利270.48元。

……

如果银行采取的是计复利的方式,也就是说你每时每刻都可以把利息归入本金,一年后能获本利:

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但是事实上,存储利息没有这么高,如果复利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢:

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我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000时,下式的值非常接近e:

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为了便于思考,取n等于50:

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当利息率是5%时,存款增长率就相当于e的20分之一次方:

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1/20正好等于5%,所以我们可以把上式改写成:

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rate表示利率。

再考虑时间因素,如果存款年限t年,那么存款最终增长率为:

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这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算,而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利,求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

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计算结果得13.86年:

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可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。


编者按:e是“指数”(exponential)的首字母,也是欧拉名字的首字母。和圆周率π及虚数单位i一样,e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布?伯努利,他开始尝试计算lim(1+1/n)  n 的值,1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数,此后遂成标准。

本文来源: 阮一峰的网络日志

原文出处: http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

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